«الأعداد السالبة
negative numbers »
أسم المشروع/ الفضاء
المنتج / بحث عن الأعداد السالبة
الأشياء المُستنكَرة اليوم؛ هي المألوفة غدًا، هذا هو حال العلم.
حيث تبدو الأفكار الجديدة غريبةً في بدايتها ثم يثبت نجاحها كليًا
أو جزئيًا بفعل التجربة العملية وبقدرتها على الإجابة عن التساؤلات. الأشياء التي
تصنف اليوم على أنَّها بديهيات ومسلَّمات طالما أعضلت عمالقة العلوم في كل
المجالات. كان يصنف مفهوم الجاذبية في بداية ظهوره على أنَّه نوعٌ من الدجل
والشعوذة؛ حيث تعرض «السير اسحق نيوتن-Sir Isaac Newton» لهجومٍ
منقطع النظير من قِبَل علماء عصره واتهموه بالتنجيم عندما تحدث عن قوى الجذب بين
الأجرام السماوية لأول مرةٍ في القرن السابع عشر، والتي قدمها في كتابه الأشهر على
الإطلاق (كتاب الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية) الذي نشر عام 1687. حيث صاغ فيه
قانون الجذب العام وقوانين الحركة التي سطرت ملامح الكون المادي لمدة ثلاثة قرون
من بعده. اسأل طفلك الصغير الذي لا يتجاوز عمره العشر سنوات: "كيف يحدث تعاقب
الليل والنهار؟"، سيجيبك بعفويةٍ: "لأنَّ الأرض تدور حول نفسها
..!" ، هذه واحدةٌ من المفاهيم التي لم تنعم بها البشرية قبل «نيكولاس
كوبرنيكوس- Nicolaus Copernicus» -مكتشف «النموذج الشمسي - Heliocentrism»- في
القرن السادس عشر.
هذا الاستنكار هو ما حدث بالضّبط مع الأعداد السّالبة، دعنا لا نقلّل من معاناة السّابقين مع السّوالب ونحاول أن نتصّور معًا كيف تعاملوا معها؟.
ارجع بالزّمن إلى الخلف قليلًا وتخيّل أنَّك رياضي أوروبّي في القرن السّابع عشر وتريد إجراء عمليّةٍ رياضيّة أساسيّة مثًل عمليّة الطّرح على عددٍ معيّنٍ من الكميّات الملموسة والقابلة للعد وليكن عددًا معيّنًا من الأبقار وهو 7. قسّمهم إلى مجموعتين الأولى أربعة والثانية ثلاثة أبقار.
هذا الاستنكار هو ما حدث بالضّبط مع الأعداد السّالبة، دعنا لا نقلّل من معاناة السّابقين مع السّوالب ونحاول أن نتصّور معًا كيف تعاملوا معها؟.
ارجع بالزّمن إلى الخلف قليلًا وتخيّل أنَّك رياضي أوروبّي في القرن السّابع عشر وتريد إجراء عمليّةٍ رياضيّة أساسيّة مثًل عمليّة الطّرح على عددٍ معيّنٍ من الكميّات الملموسة والقابلة للعد وليكن عددًا معيّنًا من الأبقار وهو 7. قسّمهم إلى مجموعتين الأولى أربعة والثانية ثلاثة أبقار.
ستقوم بعملية طرح المجموعة الثانية من الأولى 4-3=1. سهلة جدًا،
سيتبقى بقرة واحدة من ناتج الطرح. الآن، نريد أن نطرح المجموعة الأولى من الثانية
3-4=-1. ما هذا؟!، ما معنى أن تطرح أربع بقراتٍ من أصل ثلاث؟!، ما الذي تعنيه هذه
النتيجة بأنَّنا سيكون لدينا (-1) بقرة؟!، كيف يمكنك الحصول على قيمة شيٍء أقل من
العدم؟. كانت هذه التساؤلات محيرةً جدًا في البداية للرياضيين الأمر الذي دفع عالم
رياضيات شهير يدعى«فرانسيس ميزرز- Francis Maseres» عام
1795 إلى القول بأنَّ الأعداد السالبة سخيفة وغير منطقية وشيء أضاف الغموض على أسس
المعادلات الرياضية، وأضافت عنصر التعقيد على أشياءٍ هي في طبيعتها في غاية
البساطة والسهولة. ارجع إلى طفلك الآن مرة أخرى واسأله عن معنى الرقم السالب!،
سيكون لديه إجابة أفضل من« ليونارد أويلر Leonhard Euler » نفسه -وهو مكتشف العدد e وأحد عمالقة
الرياضيات في تاريخ البشرية- الذي لم يستطع أيضًا استيعاب وتقبل الأعداد السالبة
في بداية الأمر. ربًّما يجيب الطفل بأنًّ العدد السالب يعني العكس، أي أنَّ القيمة
السالبة للشيء هي القيمة المضادة له. وهي حقيقةً إجابةٌ عبقرية وكافية. إنَّه حقًا
عهدٌ جديد لقدراتنا العقلية؛ حيث أنَّ أطفال اليوم يستوعبون مفاهيم أعضلت قدماء
الرياضيين فيما مضى. ليصبح من السخيف وغير المنطقي اليوم إنكار أهمية وجود الأعداد
السالبة في النظام العددي.
هل الأعداد السالبة موجودة في الطبيعة؟
الإجابة: لا، ليس لها وجود حقيقي ،ولا تستطيع لمس أو إمساك كمية سالبة. فمن منَّا رأى كميةً توصف بأقل من العدم مثل المثال السابق (-1) بقرة؟، ولكن في الواقع استخدام الأعداد السالبة في معظم التطبيقات هو توصيف مجازي عن حالة الكميات الفيزيائية الحقيقية، أو لتوصيف التضاد، أو لتحديد الاتجاهات، أو التقييم بالنسبة للعدم (الصفر الرياضي).
حيث تَصِفُ الأعداد السالبة المفاهيم الإقتصادية بصورة مثالية مثل: التعاملات المالية وأنظمة (الإئْتِمان) والقروض والديون. فعند استخدامك للبطاقة الإئتمانية وكان رصيدك (100 ــ )جنيه مثلا. هذا يعني أنك مدين بمبلغ( 100 )جنيه لصالح البنك.فهنا توضيح لمفهوم التضاد بين المِلْكِيَّة والمَدْيُونِيَّة، فلا يوجد ورقة نقدية بقيمة (100 ــ )جنيه.
ولتوضيح مفهوم التقييم فيمكنك أن تقيِّم أداء لاعب كرة قدم بإعطائه رقما سالبا مثل (10 ــ ) -مثلا- فهذا يعني أنَّ أدائه في المباراة رديء جدا لدرجة تتخيل فيها أنَّه أهدى الخصم هدفًا مجانيًا وأحرز هدفًا في مرمى فريقه. أو أنَّ تقيم لوحة فنية بقيمة تساوي (10 ــ) فهذا يعني أنَّها لا تمت للفن بصلة، فهنا العدد السالب جاء مضادًا للجمال وأنَّها في غاية القبح.
هل الأعداد السالبة موجودة في الطبيعة؟
الإجابة: لا، ليس لها وجود حقيقي ،ولا تستطيع لمس أو إمساك كمية سالبة. فمن منَّا رأى كميةً توصف بأقل من العدم مثل المثال السابق (-1) بقرة؟، ولكن في الواقع استخدام الأعداد السالبة في معظم التطبيقات هو توصيف مجازي عن حالة الكميات الفيزيائية الحقيقية، أو لتوصيف التضاد، أو لتحديد الاتجاهات، أو التقييم بالنسبة للعدم (الصفر الرياضي).
حيث تَصِفُ الأعداد السالبة المفاهيم الإقتصادية بصورة مثالية مثل: التعاملات المالية وأنظمة (الإئْتِمان) والقروض والديون. فعند استخدامك للبطاقة الإئتمانية وكان رصيدك (100 ــ )جنيه مثلا. هذا يعني أنك مدين بمبلغ( 100 )جنيه لصالح البنك.فهنا توضيح لمفهوم التضاد بين المِلْكِيَّة والمَدْيُونِيَّة، فلا يوجد ورقة نقدية بقيمة (100 ــ )جنيه.
ولتوضيح مفهوم التقييم فيمكنك أن تقيِّم أداء لاعب كرة قدم بإعطائه رقما سالبا مثل (10 ــ ) -مثلا- فهذا يعني أنَّ أدائه في المباراة رديء جدا لدرجة تتخيل فيها أنَّه أهدى الخصم هدفًا مجانيًا وأحرز هدفًا في مرمى فريقه. أو أنَّ تقيم لوحة فنية بقيمة تساوي (10 ــ) فهذا يعني أنَّها لا تمت للفن بصلة، فهنا العدد السالب جاء مضادًا للجمال وأنَّها في غاية القبح.
ولتوضيح مفهوم الاتجاهات تَخَيَّل معي خط الأعداد بِقِيَمٍ اخْتِيَارِيَّة
تتراوح في الفترة المغلقة مابين( 5 : -5)
الكميات مثل: القوى والسرعات في علم الميكانيكا، والتيار والجهد في
الكهربية هي كميات متَّجهة ولا تتحدد كليًا بالمقدار فقط بل يلزم تحديد الاتجاه.
ولنأخذ متجه القوة كمثال فلنفرض وجود هذا المتجه على الصورة الخطية فقط في « بُعْد
أحادي ــ one dimension»متمثلًا
في خط الأعداد الأفقي وأنَّ كل قيمةٍ عددية تناظر قيمة وحدة قوة نيوتن(
N ). لقيمة القوة المساوية ل 5- نيوتن سترسم المتجه من اليمين إلى
اليسار بدايةً من نقطة الصفر وانتهاءا بالنقطة -5.
أي أنَّ القوة التي مقدارها 5 - نيوتن تؤثر في اتجاه الغرب لخط الأعداد . أو بمعنى آخر في الاتجاه المضاد للقوة 5 نيوتن التي تؤثر في اتجاه الشرق .
وفي الفيزياء تستخدم الأعداد السالبة لتوصيف كميات فيزيائية غاية في الأهمية مثل درجة الحرارة والضغط . التي وضعنا لها تصورًا ومعايرة تتوافق مع طبيعتنا الجسدية فاختيرت درجة الحرارة التي يتجمد عندها الماء على أنها القيمة الصفرية لدرجة الحرارة .فأي حرارة هذه التي سنشعر بها في وسط يتجمد فيه الماء مصدر الحياة والمكون الرئيسي للأجسام الحية؟، وهكذا أعطينا قيمًا سالبة لدرجات الحرارة التي تقل عن درجة تجمد الماء. وبالمثل تعاملنا مع الضغط متخذين الضغط الجوي كقيمة معيارية للصفر نتأثر بها إذا زاد أو قلَّ عن هذه القيمة.
والحرارة والضغط تستخدم في توصيف المواد والتلاعب بحالاتها الثلاث السائلة والصلبة والغازية. دعنا نستخدم الماء كمثال :
أي أنَّ القوة التي مقدارها 5 - نيوتن تؤثر في اتجاه الغرب لخط الأعداد . أو بمعنى آخر في الاتجاه المضاد للقوة 5 نيوتن التي تؤثر في اتجاه الشرق .
وفي الفيزياء تستخدم الأعداد السالبة لتوصيف كميات فيزيائية غاية في الأهمية مثل درجة الحرارة والضغط . التي وضعنا لها تصورًا ومعايرة تتوافق مع طبيعتنا الجسدية فاختيرت درجة الحرارة التي يتجمد عندها الماء على أنها القيمة الصفرية لدرجة الحرارة .فأي حرارة هذه التي سنشعر بها في وسط يتجمد فيه الماء مصدر الحياة والمكون الرئيسي للأجسام الحية؟، وهكذا أعطينا قيمًا سالبة لدرجات الحرارة التي تقل عن درجة تجمد الماء. وبالمثل تعاملنا مع الضغط متخذين الضغط الجوي كقيمة معيارية للصفر نتأثر بها إذا زاد أو قلَّ عن هذه القيمة.
والحرارة والضغط تستخدم في توصيف المواد والتلاعب بحالاتها الثلاث السائلة والصلبة والغازية. دعنا نستخدم الماء كمثال :
«درجة الحرارة تحت الصفر ــ
subzero temperature»
ففي الضغط الجوي وعند درجة حرارة (10 ــ ) مئوية أي كمية من الماء لدينا ستكون في الحالة الصلبة بدلًا من السائلة.
ففي الضغط الجوي وعند درجة حرارة (10 ــ ) مئوية أي كمية من الماء لدينا ستكون في الحالة الصلبة بدلًا من السائلة.
«ضغط التفريغ ــvacuum
pressure»
يعرف على أنَّه "الضغط الذي له قيمة أقل من الضغط الجوي"، ومعظم أجهزة قياس الضغط تقيس فرق الضغط بين الضغط الجوي والذي يعتبر قيمةً صفرية وبين الضغط المطلق للمكان المراد قياس الضغط فيه، فيعامل <<الفراغ-vacuum>> مجازيًا على أنَّه قيمة سالبة للضغط تحت الصفر(الضغط الجوي).
يعرف على أنَّه "الضغط الذي له قيمة أقل من الضغط الجوي"، ومعظم أجهزة قياس الضغط تقيس فرق الضغط بين الضغط الجوي والذي يعتبر قيمةً صفرية وبين الضغط المطلق للمكان المراد قياس الضغط فيه، فيعامل <<الفراغ-vacuum>> مجازيًا على أنَّه قيمة سالبة للضغط تحت الصفر(الضغط الجوي).
رجوعًا إلى الماء فإنَّه في درجة حرارة الغرفة وفي ضغط التفريغ
-وليكن 20ميللي بار في درجة حرارة الغرفة- سيبدأ الماء في الغليان وستبدأ عملية
البخر وبزيادة التفريغ يزداد البخر إلى أن تتبخر كمية الماء الموجودة كليًا.
*مفهوم التفريغ: هو ضغط سالب (في
الاتجاه المعاكس) أي عملية خفض الضغط عن القيمة المطلقة وهي الضغط الجوي. ويمكنك
مشاهدة هذه التجربة من هذا الرابط:
https://www.youtube.com/watch?v=pOYgdQp4euc
https://www.youtube.com/watch?v=pOYgdQp4euc
ويستخدم مفهوم التفريغ لتبسيط مفاهيم حركة الأجسام في الأوساط
الفراغية وتوضيح مفهوم السقوط الحر، كما حدث مع جاليليو في تجربته الشهيرة على
حجرين مختلفين في الكتلة عندما ألقى بهما معًا من فوق برج بيزا . التي تأكدنا من
صحتها معمليًا في تجربة «الغرفة المفرغة ــ vacuum chamber»، فعند إلقاء الريشة والحجر من مكان مرتفع معًا في نفس اللحظة في
وسط مفرغ ستنعدم مقاومة الهواء لهما وسيصلان معا في نفس اللحظة إلى الأرض.
يمكنك مشاهدة التجربة التي قام بها العالم « برين كوكس ــ
Brain Cox » في أحد المعامل التابعة لوكالة الفضاء
الأمريكية ( NASA ) والتي
تستخدمها لدراسة تأثير الفراغ (انخفاض الضغط) على المركبات الفضائية، من خلال
الرابط التالي : https://www.youtube.com/watch?v=E43-CfukEgs
عالمٌ افتراضي له قدرةٌ عجيبة على توصيف الواقع الفيزيائي الحقيقي،
هذه هي الرياضيات باختصار. فإذا أردت اللعب عليك الالتزام بقوانين اللعبة.
تتمحور الرياضيات حول أشياء تسمى البديهيات والأساسيات، تستطيع
القول أنَّها هي القوانين الحاكمة للعبة، فلا يمكنك مخالفة القوانين إلا بالمزيد
من الفرضيات التي لا تتلف السياق العام ولا تخل بمنطقية الأمور. وهذا ينطبق على
الأعداد السالبة.
إذاً نخلُص من هذا كله أنَّنا أوجدنا عددًا نظريًا له استخدامات مفيدة ويوصف الواقع الفيزيائي بصورة أنيقة. فالسوالب بالفعل قفزة عقلية كبيرة في المفاهيم الرياضية.
إذاً نخلُص من هذا كله أنَّنا أوجدنا عددًا نظريًا له استخدامات مفيدة ويوصف الواقع الفيزيائي بصورة أنيقة. فالسوالب بالفعل قفزة عقلية كبيرة في المفاهيم الرياضية.
إعداد :Ahmed Hosiny
مراجعة:Abrar M Mohamad
تصميم: Mohamed Sharaf
مراجعة:Abrar M Mohamad
تصميم: Mohamed Sharaf
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق